Phương pháp giải:

Cô lập \(m\).

Lời giải chi tiết:

ĐK: \({x^3} + 4x \ge 0 \Leftrightarrow x\left( {{x^2} + 4} \right) \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 0\).

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}{x^2} + \left( {m + 2} \right)x + 4 = \left( {m - 1} \right)\sqrt {{x^3} + 4x} \\ \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 4 + \sqrt {{x^3} + 4x}  + \left( {x - \sqrt {{x^3} + 4x} } \right)m = 0\end{array}\)

TH1: \(x - \sqrt {{x^3} + 4x}  = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt {{x^3} + 4x}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} = {x^3} + 4x\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 0\).

Khi đó phương trình trở thành \(4 + 0m = 0\) (vô nghiệm).

TH2: \(x \ne 0\), kết hợp điều kiện ta có \(x > 0\).

Khi đó \(pt \Leftrightarrow m = \dfrac{{{x^2} + 2x + 4 + \sqrt {{x^3} + 4x} }}{{\sqrt {{x^3} + 4x}  - x}} = \dfrac{{{x^2} + 3x + 4 + \sqrt {{x^3} + 4x}  - x}}{{\sqrt {{x^3} + 4x}  - x}} = \dfrac{{{x^2} + 3x + 4}}{{\sqrt {{x^3} + 4x}  - x}} + 1\).

                \( \Leftrightarrow m = \dfrac{{x + 3 + \dfrac{4}{x}}}{{\sqrt {x + \dfrac{4}{x}}  - 1}} = \dfrac{{\left( {x + \dfrac{4}{x}} \right) + 3}}{{\sqrt {x + \dfrac{4}{x}}  - 1}}\).

Đặt \(t = \sqrt {x + \dfrac{4}{x}}  \ge \sqrt {2\sqrt {x.\dfrac{4}{x}} }  = 2\), ta có \(m = \dfrac{{{t^2} + 3}}{{t - 1}} = f\left( t \right)\,\,\left( {t \ge 2} \right)\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = \dfrac{{{t^2} + 3}}{{t - 1}}\) với \(t \ge 2\) ta có \(f'\left( t \right) = \dfrac{{2t\left( {t - 1} \right) - \left( {{t^2} + 3} \right)}}{{{{\left( {t - 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{{t^2} - 2t - 3}}{{{{\left( {t - 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = 3\end{array} \right.\).

BBT:

Dựa vào BBT ta thấy phương trình \(m = f\left( t \right)\) có nghiệm \(t \ge 2\) \( \Leftrightarrow m \ge 6\).

Kết hợp điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}m \in \mathbb{Z}\\m \in \left[ { - 2019;2019} \right]\end{array} \right. \Rightarrow m \in \left\{ {6;7;8;...;2019} \right\}\).

Vậy có \(\dfrac{{2019 - 6}}{1} + 1 = 2014\) giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn D