Phương pháp giải:

+) Xác định tập giá trị của biểu thức \(3 - 4\sqrt {6x - 9{x^2}} \).

+) Dựa vào đồ thị hàm số, xác định giá trị của \( - \left( {1 + {m^2}} \right)\) để phương trình \(f\left( {3 - 4\sqrt {6x - 9{x^2}} } \right) + 1 + {m^2} = 0\) có nghiệm.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(0 \le \sqrt {6x - 9{x^2}}  = \sqrt {1 - {{\left( {1 - 3x} \right)}^2}}  \le 1 \Leftrightarrow  - 1 \le 3 - 4\sqrt {6x - 9{x^2}}  \le 3\).

Đặt \(t = 3 - 4\sqrt {6x - 9{x^2}}  \Rightarrow t \in \left[ { - 1;3} \right]\). Yêu cầu bài toán trở thành tìm \(m\) để phương trình \(f\left( t \right) =  - \left( {1 + {m^2}} \right)\) có nghiệm thuộc \(\left[ { - 1;3} \right]\) (1).

Quan sát đồ thị hàm số ta có:

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow  - 5 \le  - \left( {{m^2} + 1} \right) \le  - \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} \le {m^2} + 1 \le 5 \Leftrightarrow  - \dfrac{1}{2} \le {m^2} \le 4 \Leftrightarrow  - 2 \le m \le 2\).

Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 2; - 1;0;1;2} \right\}\). Vậy có 5 giá trị của \(m\) thỏa mãn.

Chọn: C