Phương pháp giải:

\(\int\limits_a^b {f'\left( x \right)dx = \left. {f\left( x \right)} \right|_a^b} .\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\int\limits_0^1 {{e^x}\left[ {f\left( x \right) + f'\left( x \right)} \right]dx}  = \int\limits_0^1 {\left[ {{e^x}f\left( x \right) + {e^x}f'\left( x \right)} \right]dx} \\ = \int\limits_0^1 {\left[ {{e^x}f\left( x \right)} \right]'dx}  = \left. {\left[ {{e^x}f\left( x \right)} \right]} \right|_0^1 = e.f\left( 1 \right) - f\left( 0 \right) = e - 1\\ \Rightarrow a = 1;\,\,\,b =  - 1 \Rightarrow {a^{2019}} + {b^{2019}} = {1^{2019}} + {\left( { - 1} \right)^{2019}} = 1 - 1 = 0\end{array}\)

Chọn: C