Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa các đường tiệm cận của đồ thị hàm số:

- Tiệm cận đứng: Đường thẳng \(x = {x_0}\) được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu nó thỏa mãn một trong 4 điều kiện sau: \(\left[ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y =  + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y =  - \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y =  + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y =  - \infty \end{array} \right.\)

- Tiệm cận ngang: Đường thẳng \(y = {y_0}\) được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu nó thỏa mãn một trong 2 điều kiện sau: \(\left[ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = {y_0}\\\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = {y_0}\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Quan sát bảng biến thiên ta thấy:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y =  - \infty \) nên \(x = 0\) là TCĐ của đồ thị hàm số.

Ngoài ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  + \infty \) nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

Vậy đồ thị hàm số chỉ có một đường tiệm cận đứng và không có tiệm cận ngang.

Chọn C.