Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{6}SA.BC.d\left( {SA;BC} \right).\sin \alpha \) với \(\alpha \) là góc giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(BC\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(K\) là trung điểm của \(BC\).

Do tam giác \(SBC\) và \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}SK \bot BC\\AK \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAK} \right)\)  và \(SK = AK = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

\( \Rightarrow \Delta SAK\) cân tại \(K\).

Gọi \(H\) là trung điểm của \(SA \Rightarrow KH \bot SA\).

\( \Rightarrow KH\) là đoạn vuông góc chung của \(SA;\,\,BC\).

Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(BC\) ta có:

\({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{6}SA.BC.d\left( {SA;BC} \right).\sin \alpha  = \dfrac{1}{6}SA.BC.HK.\sin \alpha \).

Ta có \(HK = \sqrt {S{K^2} - S{H^2}}  = \sqrt {\dfrac{{3{a^2}}}{4} - \dfrac{{{x^2}}}{4}}  = \dfrac{{\sqrt {3{a^2} - {x^2}} }}{2}\).

\( \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{6}x.a.\dfrac{{\sqrt {3{a^2} - {x^2}} }}{2}.\sin \alpha  \le \dfrac{{x.a\sqrt {3{a^2} - {x^2}} }}{{12}}\)

Xét hàm số: \(f\left( x \right) = x\sqrt {3{a^2} - {x^2}} \,\,\left( {0 < x < a\sqrt 3 } \right)\) ta có:

\(f'\left( x \right) = \sqrt {3{a^2} - {x^2}}  + x\dfrac{{ - x}}{{\sqrt {3{a^2} - {x^2}} }} = \dfrac{{3{a^2} - 2{x^2}}}{{\sqrt {3{a^2} - {x^2}} }} = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}\).

\( \Rightarrow {V_{S.ABC\,\,\max }} \Leftrightarrow x = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}\).

Chọn A.