Phương pháp giải:

+) Đặt \(t = f\left( x \right)\), xác định khoảng giá trị của \(t \in \left[ {a;b} \right]\).

+) Yêu cầu bài toán trở thành tìm \(m\) để bất phương trình \(f\left( t \right) \ge m\) có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) \( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( t \right) \le m \le \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( t \right) =  - 2 \le m \le 2\).

Lời giải chi tiết:

Với \(x \in \left[ { - 1;1} \right] \Rightarrow f\left( x \right) \in \left[ { - 2;2} \right] \Rightarrow  - f\left( x \right) \in \left[ { - 2;2} \right]\).

Đặt \(t = f\left( x \right) \Rightarrow t \in \left[ { - 2;2} \right]\), yêu cầu bài toán trở thành tìm \(m\) để bất phương trình \(f\left( t \right) \ge m\) có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ { - 2;2} \right]\) \( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( t \right) \le m \le \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( t \right) =  - 2 \le m \le 2\).

Mà \(m \in \mathbb{N} \Rightarrow m \in \left\{ {0;1;2} \right\}\).

Chọn C.