Phương pháp giải:

Đường thẳng \(x = {x_0}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu một trong những điều kiện sau được thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y =  - \infty \)

Đường thẳng \(y = {x_0}\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu một trong những điều kiện sau được thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = {y_0};\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = {y_0}\)

Lời giải chi tiết:

ĐK : \(x \ne  \pm 2\)

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{{x + 3}}{{{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{{\frac{1}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}}}{{\frac{{{x^2}}}{{{x^2}}} - \frac{4}{{{x^2}}}}} = 0\)  nên \(y = 0\) là TCN của đồ thị hàm số

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{x + 3}}{{{x^2} - 4}} =  + \infty \)  nên \(x = 2\) là TCĐ của đồ thị hàm số

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} \frac{{x + 3}}{{{x^2} - 4}} =  - \infty \)  nên \(x =  - 2\) là TCĐ của đồ thị hàm số

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 3 đường tiệm cận.

Chọn C.