Câu hỏi
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {5;3;1} \right),\,B\left( {7;5;3} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y - z = 0\). Điểm M thay đổi trên \(\left( P \right)\) sao cho mặt phẳng \(\left( {MAB} \right)\) vuông góc \(\left( P \right)\). Tính độ dài ngắn nhất của đoạn \(OM\).
- A \(\dfrac{5}{{\sqrt 6 }}\).
- B \(\dfrac{5}{{\sqrt {14} }}\).
- C \(\dfrac{7}{{\sqrt 6 }}\).
- D \(\dfrac{8}{{\sqrt {14} }}\).
Phương pháp giải:
- Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa A, B và vuông góc với (P)
- Biện luận vị trí của M trên (Q) để OM ngắn nhất, tính độ dài ngắn nhất đó.
Lời giải chi tiết:
\(A\left( {5;3;1} \right),\,B\left( {7;5;3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {2;2;2} \right)\)
\(\left( P \right):x - 2y - z = 0\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 2; - 1} \right)\)
Gọi (Q) là mặt phẳng chứa A, B và vuông góc với (P) \( \Rightarrow \left( Q \right)\) có 1 VTPT \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {{n_1}} } \right] = \left( {2;4; - 6} \right)\)
Phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right):2\left( {x - 5} \right) + 4\left( {y - 3} \right) - 6\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 4y - 6z - 16 = 0 \Leftrightarrow x + 2y - 3z - 8 = 0\)
Khi đó, OM ngắn nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu vuông góc của O lên OM.
\(O{M_{\min }} = d\left( {O;\left( Q \right)} \right) = \dfrac{{\left| { - 8} \right|}}{{\sqrt {1 + 4 + 9} }} = \dfrac{8}{{\sqrt {14} }}\).
Chọn: D
Câu hỏi trước
