Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính khoảng cách từ điểm \(M\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right)\) đến đường thẳng \(d:\,\,ax + by + c = 0\) là:

\(d\left( {M;\,\,d} \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(M \in {d_3}:\,\,x - 2y = 0 \Rightarrow M\left( {2m;\,\,m} \right).\) 

Theo đề bài ta có:

\(\begin{array}{l}d\left( {M;\,\,{d_1}} \right) = 2d\left( {M;\,\,{d_2}} \right) \Leftrightarrow \frac{{\left| {2m + m + 3} \right|}}{{\sqrt {1 + 1} }} = 2.\frac{{\left| {2m - m - 4} \right|}}{{\sqrt {1 + 1} }}\\ \Leftrightarrow \left| {3m + 3} \right| = 2.\left| {m - 4} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3m + 3 = 2\left( {m - 4} \right)\\3m + 3 =  - 2\left( {m - 4} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3m + 3 = 2m - 8\\3m + 3 =  - 2m + 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - 11\\5m = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - 11 \Rightarrow M\left( { - 22; - 11} \right)\\m = 1 \Rightarrow M\left( {2;\,\,1} \right)\end{array} \right..\end{array}\)

Chọn  D.