Phương pháp giải:

+) Điểm \(C \in d \Rightarrow \) tọa độ điểm \(C\) thỏa mãn phương trình đường thẳng \(d.\)

+) Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left( {{x_A};\,\,{y_A}} \right),\,\,\,B\left( {{x_B};\,\,{y_B}} \right)\) là: \(AB:\,\,\,\frac{{x - {x_A}}}{{{x_B} - {x_A}}} = \frac{{y - {y_A}}}{{{y_B} - {y_A}}}.\)

+) Giải phương trình \(d\left( {C;\,\,AB} \right) = 6\)  để tìm tọa độ điểm \(C.\)

 +) Sử dụng công thức tính khoảng cách từ điểm \(M\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right)\) đến đường thẳng \(d:\,\,ax + by + c = 0\) là:

\(d\left( {M;\,\,d} \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:\(C \in d:\,\,x - 2y - 1 = 0 \Rightarrow C\left( {2{y_0} + 1;\,\,{y_0}} \right).\)

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left( {1;\,\,1} \right),\,\,B\left( {4; - 3} \right)\) là:

\(\begin{array}{l}AB:\,\,\,\frac{{x - 1}}{{4 - 1}} = \frac{{y - 1}}{{ - 3 - 1}} \Leftrightarrow \frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y - 1}}{{ - 4}} \Leftrightarrow 4x - 4 + 3y - 3 = 0 \Leftrightarrow 4x + 3y - 7 = 0\\ \Rightarrow d\left( {C;\,\,AB} \right) = 6 \Leftrightarrow \frac{{\left| {4.\left( {2{y_0} + 1} \right) + 3{y_0} - 7} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = 6\\ \Leftrightarrow \left| {8{y_0} + 4 + 3{y_0} - 7} \right| = 6.5\\ \Leftrightarrow \left| {11{y_0} - 3} \right| = 30\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}11{y_0} - 3 = 30\\11{y_0} - 3 =  - 30\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{y_0} = 3\\{y_0} =  - \frac{{27}}{{11}}\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}C\left( {7;\,\,3} \right)\\C\left( { - \frac{{43}}{{11}}; - \frac{{27}}{{11}}} \right)\end{array} \right..\end{array}\)

Chọn  C.