Phương pháp giải:

- Tìm các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thị hàm số.

- Nhận xét số đường tiệm cận đã có và suy ra điều kiện để có đủ số tiệm cận thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \dfrac{{x - 1}}{{{x^2} + mx + 4}} = 0\) nên đồ thị hàm số luôn có \(1\) TCN là \(y = 0\).

Đồ thị hàm số có \(2\) đường tiệm cận thì nó chỉ có duy nhất \(1\) đường tiệm cận đứng\( \Leftrightarrow \) phương trình \({x^2} + mx + 4 = 0\) có nghiệm \(x = 1\) hoặc phương trình \({x^2} + mx + 4 = 0\) có nghiệm kép (có thể bằng \(1\)).

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{1^2} + m.1 + 4 = 0\\{m^2} - 4.4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - 5\\m =  \pm 4\end{array} \right.\).

Vậy có \(3\) giá trị của \(m\) thỏa mãn bài toán.

Chọn C.