Phương pháp giải:

+ Sử dụng \(d\left( {a;b} \right) = d\left( {a;\left( P \right)} \right) = d\left( {M;\left( P \right)} \right) = MH\) với \(a//\left( P \right);\,\,\,b \subset \left( P \right);\,\,\,M \in a\) và \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(M\) xuống mặt phẳng \(\left( P \right).\)

+ Xác định góc giữa hai đường thẳng \(a,b\) là góc giữa \(a\) và \(b'\) với \(b//b'.\)

+ Sử dụng định lý Pytago và tỉ số lượng giác của góc nhọn.

+ Diện tích toàn phần của hình trụ có bán kính đáy \(r\) và đường sinh \(l\) là \({S_{tp}} = 2\pi rl + 2\pi {r^2}\)

Lời giải chi tiết:

Kẻ các đường sinh \(AB',A'B\) thì \(AB'//OO'//A'B\)

Ta có \(d\left( {OO';AB} \right) = d\left( {OO';\left( {AA'BB'} \right)} \right) = d\left( {O;\left( {AA'BB'} \right)} \right)\)

Kẻ \(OH \bot AA'\) tại \(H \Rightarrow H\) là trung điểm của \(AA'.\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}OH \bot AA'\\\,A'B \bot OH\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot \left( {AA'BB'} \right) \Rightarrow d\left( {O;\left( {AA'BB'} \right)} \right) = OH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Lại có \(AB\) tạo với trục hình trụ góc \({30^0}\)  mà \(OO'//A'B \Rightarrow \widehat {A'BA} = 30^\circ \)

Xét tam giác \(OHA\) vuông tại \(H\) có:

\(HA = \sqrt {O{A^2} - O{H^2}}  = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}  = \dfrac{a}{2}\)  suy ra \(AA' = 2HA = a\)

Xét tam giác \(ABA'\) vuông tại \(A'\) có \(A'B = AA'.\cot 30^\circ  = a\sqrt 3 \)

Diện tích toàn phần của hình trụ đã cho là:

\({S_{tp}} = 2\pi rl + 2\pi {r^2} = 2\pi .a.a\sqrt 3  + 2\pi {a^2} = 2\pi {a^2}\left( {\sqrt 3  + 1} \right)\)

Chọn C.