Phương pháp giải:

Đường thẳng \(d\)  đối xứng với \(BC\) qua \(MN\) thì song song với \(BC\) và \(MN.\)

Chứng minh đường thẳng đi qua điểm \(A.\)  Khi đó \(d\) đi qua \(A\) và song song với \(MN.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow {MN}  = \left( {2;\,\,3} \right).\)

Gọi \(A\left( {a;\,\,b} \right)\)  là đỉnh của \(\Delta ABC.\)

Vì \(M,\,\,N,\,\,P\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB,\,\,CA\) và \(BC\) của \(\Delta ABC \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AN//MP\\AM//NP\end{array} \right.\) (tính chất đường trung bình của tam giác).

\( \Rightarrow AMPN\) là hình bình hành.

\( \Rightarrow \overrightarrow {AN}  = \overrightarrow {MP}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 - a =  - 1\\2 - b =  - 5 + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = 6\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {4;\,\,6} \right).\)

Gọi \(d\) là đường thẳng đối xứng với \(BC\) qua \(MN \Rightarrow d\) đi qua \(A\) và song song với \(BC \Rightarrow d//MN.\)

\( \Rightarrow d\) nhận vecto \(\left( {3; - 2} \right)\) làm VTPT

\(\begin{array}{l} \Rightarrow d:\,\,\,3\left( {x - 4} \right) - 2\left( {y - 6} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 3x - 2y = 0.\end{array}\)

Chọn  A.