Phương pháp giải:

Lập phương trình đường thẳng \(BC.\)

Lập phương trình đường thẳng  \(d\)  đi qua \(A\) và vuông góc với \(BC.\) 

Khi đó hình chiếu \(H\) của \(A\) trên \(BC\) chính là giao điểm của\(d\) và \(BC.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow {BC}  = \left( {12; - 2} \right) = 2\left( {6; - 1} \right).\)

Khi đó phương trình đường thẳng \(BC\) đi qua \(B\) và nhận vecto \(\left( {1;\,\,6} \right)\) làm VTPT.

\( \Rightarrow BC:\,\,\,x + 4 + 6\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 6y - 2 = 0.\)

Gọi  \(d\)  là đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(BC \Rightarrow \overrightarrow {BC} \) là VTPT của \(d.\)  

\( \Rightarrow d:\,\,\,6x - \left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 6x - y + 3 = 0.\)

Khi đó hình chiếu \(H\) của \(A\) trên \(BC\) chính là giao điểm của\(d\) và \(BC.\)

\( \Rightarrow \) Tọa độ điểm \(H\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + 6y - 2 = 0\\6x - y + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - \frac{{16}}{{37}}\\y = \frac{{15}}{{37}}\end{array} \right. \Rightarrow H\left( { - \frac{{16}}{{37}};\,\,\frac{{15}}{7}} \right).\)

Chọn  C.