Phương pháp giải:

+) Tính \(y'\) và giải phương trình \(y' = 0\).

+) Tìm tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số và sử dụng điều kiện đối xứng qua đường thẳng \(y = x\) tìm \(m\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y' = 3{x^2} - 3mx = 3x\left( {x - m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = \dfrac{1}{2}{m^3}\\x = m \Rightarrow y = 0\end{array} \right.\)

Hàm số có hai điểm cực trị \( \Leftrightarrow m \ne 0\).

Khi đó đồ thị hàm số có hai điểm cực trị \(A\left( {0;\dfrac{1}{2}{m^3}} \right)\) và \(B\left( {m;0} \right)\).

Hai điểm này đối xứng với nhau qua \(d:y = x\)\( \Leftrightarrow \) trung điểm \(I\) của \(AB\) thuộc \(d\) và \(AB \bot d\).

Ta có: \(I\left( {\dfrac{m}{2};\dfrac{{{m^3}}}{4}} \right),\overrightarrow {AB}  = \left( {m; - \dfrac{1}{2}{m^3}} \right)\)

+) \(I \in d \Leftrightarrow \dfrac{{{m^3}}}{4} = \dfrac{m}{2} \Leftrightarrow 2{m^3} = 4m \Leftrightarrow 2m\left( {{m^2} - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( L \right)\\m =  \pm \sqrt 2 \,\,\left( {TM} \right)\end{array} \right.\)

+) \(AB \bot d \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_d}}  = 0 \Leftrightarrow m - \dfrac{1}{2}{m^3} = 0 \Leftrightarrow 2m - {m^3} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( L \right)\\m =  \pm \sqrt 2 \,\,\left( {TM} \right)\end{array} \right.\).

Vậy có hai giá trị của \(m\) thỏa mãn bài toán là \({m_{1,2}} =  \pm \sqrt 2 \).

Chọn C