Phương pháp giải:

Từ giả thiết biến đổi để có \(f'\left( 0 \right) = 0\)

Từ đó tìm được hàm \(f'\left( x \right)\) và tính tích phân.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{2x + f'\left( x \right)}}{{2x}} = 2\)  mà \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} 2x = 0\) nên  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {2x + f'\left( x \right)} \right) = 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f'\left( x \right) = 0 \Rightarrow f'\left( 0 \right) = 0\) (vì nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {2x + f'\left( x \right)} \right) \ne 0\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{2x + f'\left( x \right)}}{{2x}} = \infty  \ne 2\))

Từ đó \(x = 0;x = 1;x = 2\) là ba cực trị của hàm số đã cho. Hay phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có ba nghiệm \(x = 0;x = 1;x = 2\)

Vì \(f\left( x \right)\) là hàm đa thức bậc 4 nên ta giả sử hàm \(f'\left( x \right) = m.x\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\)  

Từ đề bài ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{2x + mx\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{2x}} = 2 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{2 + m\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{2} = 2 \Rightarrow \dfrac{{2 + 2m}}{2} = 2 \Leftrightarrow m = 1\)

Nên \(f'\left( x \right) = x\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) = {x^3} - 3{x^2} + 2x\)

Từ đó \(\int\limits_0^1 {f'\left( x \right)dx}  = \int\limits_0^1 {\left( {{x^3} - 3{x^2} + 2x} \right)dx}  = \dfrac{1}{4}.\)

Chọn B.