Phương pháp giải:

Tìm GTLN của hàm số \(y = f\left( {{x^3} + x} \right)\) và \(y =  - {x^2} + 2x + m\) trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\) và suy ra đáp số.

Lời giải chi tiết:

Xét \(g\left( x \right) = f\left( {{x^3} + x} \right) - {x^2} + 2x + m\) trên \(\left[ {0;2} \right]\) ta có :

Với mọi \(x \in \left[ {0;2} \right]\) thì \({x^3} + x \in \left[ {0;10} \right]\) nên \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( {{x^3} + x} \right) = 4\) xảy ra khi \({x^3} + x = 2 \Leftrightarrow x = 1\).

Lại có \( - {x^2} + 2x + m = m + 1 - {\left( {x - 1} \right)^2} \le m + 1\) nên \(\max \left( { - {x^2} + 2x + m} \right) = m + 1\) xảy ra khi \(x = 1\).

Do đó \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} g\left( x \right) = g\left( 1 \right) = 4 + m + 1 = 5 + m\).

Bài toán thỏa khi \(5 + m = 8 \Leftrightarrow m = 3\).

Chọn D.