Câu hỏi
Cho hình nón đỉnh \(S\) có đáy là đường tròn tâm \(O\), bán kính \(R\). Trên đường tròn \(\left( O \right)\) lấy hai điểm \(A,B\) sao cho tam giác \(OAB\) vuông. Biết diện tích tam giác \(SAB\) bằng \({R^2}\sqrt 2 \), thể tích hình nón đã cho bằng
- A \(V = \dfrac{{\pi {R^3}\sqrt {14} }}{2}\)
- B \(V = \dfrac{{\pi {R^3}\sqrt {14} }}{6}\)
- C \(V = \dfrac{{\pi {R^3}\sqrt {14} }}{{12}}\)
- D \(V = \dfrac{{\pi {R^3}\sqrt {14} }}{3}\)
Phương pháp giải:
- Gọi \(H\) là trung điểm \(AB\).
- Tính \(SO\) suy ra thể tích \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h\).
Lời giải chi tiết:
Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\) ta có \(OH \bot AB,SH \bot AB\).
Tam giác \(OAB\) vuông tại \(O\) \( \Rightarrow AB = R\sqrt 2 \), \(OH = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{{R\sqrt 2 }}{2}\).
Tam giác \(SAB\) có \({S_{SAB}} = {R^2}\sqrt 2 \Rightarrow SH = \dfrac{{2{S_{SAB}}}}{{AB}} = \dfrac{{2{R^2}\sqrt 2 }}{{R\sqrt 2 }} = 2R\).
\( \Rightarrow SO = \sqrt {S{H^2} - O{H^2}} = \sqrt {4{R^2} - \dfrac{{2{R^2}}}{4}} = \dfrac{{R\sqrt {14} }}{2}\).
Thể tích khối nón \(V = \dfrac{1}{3}\pi O{A^2}.SO = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}.\dfrac{{R\sqrt {14} }}{2} = \dfrac{{\pi {R^3}\sqrt {14} }}{6}\).
Chọn B.
Câu hỏi trước
