Phương pháp giải:

Sử dụng định lý Vi – ét.

Lời giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm của (H) và d:

\(\frac{{x - 4}}{{2x - 2}} = kx + k,\,\,\left( {x \ne 1} \right)\)\( \Leftrightarrow 2k{x^2} - 2k - x + 4 = 0\)\( \Leftrightarrow 2k{x^2} - x - 2k + 4 = 0\)

d  cắt (H) tại 2 điểm phân biệt A, B \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k \ne 0\\\Delta  > 0\\2k{.1^2} - 2k - 1 + 4 \ne 0\,\,\left( {ld} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k \ne 0\\16{k^2} - 32k + 1 > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k \ne 0\\\left[ \begin{array}{l}k > \frac{{4 + \sqrt {15} }}{4} \approx 1,97\\k < \frac{{4 - \sqrt {15} }}{4} \approx 0,03\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Gọi \({x_1},{x_2}\) lần lượt là hoành độ của hai điểm A, B. Ta có: \({y_1} = k{x_1} + k,{y_2} = k{x_2} + k\)

Để hai điểm A, B cách đều trục hoành thì \(\left| {{y_1}} \right| = \left| {{y_2}} \right| \Leftrightarrow {\left( {k{x_1} + k} \right)^2} = {\left( {k{x_2} + k} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} + 2 = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{{2k}} + 2 = 0\)\( \Leftrightarrow k =  - \frac{1}{4} \in \left( { - 1;0} \right)\)

Chọn: D