Phương pháp giải:

Đặt \(t = \dfrac{{5\sin x - 1}}{2}\).

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = \dfrac{{5\sin x - 1}}{2}\) ta có \(g\left( t \right) = 2f\left( t \right) + {t^2} + 3\).

Ta có: \(\forall x \in \left( {0;2\pi } \right) \Rightarrow  - 1 \le \sin x \le 1 \Leftrightarrow  - 5 \le 5\sin x \le 5 \Leftrightarrow  - 6 \le 5\sin x - 1 \le 4 \Leftrightarrow  - 3 \le \dfrac{{5\sin x - 1}}{2} \le 2\)

\( \Rightarrow  - 3 \le t \le 2 \Leftrightarrow t \in \left[ { - 3;2} \right]\).

Xét hàm số \(g\left( t \right) = 2f\left( t \right) + {t^2} + 3\) trên đoạn \(\left[ { - 3;2} \right]\) ta có:

\(g'\left( t \right) = 2f'\left( t \right) + 2t = 0 \Leftrightarrow f'\left( t \right) + t = 0 \Leftrightarrow f'\left( t \right) =  - t\).

Vẽ đồ thị hàm số \(y = f'\left( t \right)\) và đường thẳng \(y =  - t\) trên cùng hệ trục tọa độ \(Oxy\) ta có:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy trong đoạn \(\left[ { - 3;2} \right]\) đường thẳng \(y =  - t\) cắt đồ thị hàm số \(y = f'\left( t \right)\) tại 4 điểm phân biệt và qua cả 4 điểm đó \(g'\left( t \right)\) đều đổi dấu, đó là các điểm \(t \in \left\{ { - 3; - 1;0;1} \right\}\).

+) \(t =  - 3 \Rightarrow \dfrac{{5\sin x - 1}}{2} =  - 3 \Leftrightarrow \sin x =  - 1 \Leftrightarrow x =  - \dfrac{\pi }{2}\).

+) \(t =  - 1 \Rightarrow \dfrac{{5\sin x - 1}}{2} =  - 1 \Leftrightarrow \sin x = \dfrac{{ - 1}}{5} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \arcsin \left( { - \dfrac{1}{5}} \right) + 2\pi \\x = \pi  - \arcsin \left( { - \dfrac{1}{5}} \right)\end{array} \right.\)

+) \(t = 0 \Rightarrow \dfrac{{5\sin x - 1}}{2} = 0 \Leftrightarrow \sin x = \dfrac{1}{5} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \arcsin \left( {\dfrac{1}{5}} \right)\\x = \pi  - \arcsin \left( {\dfrac{1}{5}} \right)\end{array} \right.\)

+) \(t = 1 \Rightarrow \dfrac{{5\sin x - 1}}{2} = 1 \Leftrightarrow \sin x = \dfrac{3}{5} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \arcsin \left( {\dfrac{3}{5}} \right)\\x = \pi  - \arcsin \left( {\dfrac{1}{5}} \right)\end{array} \right.\)

Vậy hàm số đã cho có 7 điểm cực trị.

Chọn C