Phương pháp giải:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\).

+) Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = {y_0}\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = {y_0}\) thì \(y = {y_0}\) là TCN của đồ thị hàm số.

+) Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y = \infty \) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y = \infty \) thì \(x = {x_0}\) là TCĐ của đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}4{x^2} + 2x - 1 \ge 0\\x \ne  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x \ge \dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{4}\\x \le \dfrac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{4}\end{array} \right.\\x \ne  - 1\end{array} \right.\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{\sqrt {4{x^2} + 2x - 1}  + x}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{\sqrt {4 + \dfrac{2}{x} - \dfrac{1}{{{x^2}}}}  + 1}}{{1 + \dfrac{1}{x}}} = 3\\\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{\sqrt {4{x^2} + 2x - 1}  + x}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{ - \sqrt {4 + \dfrac{2}{x} - \dfrac{1}{{{x^2}}}}  + 1}}{{1 + \dfrac{1}{x}}} =  - 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \dfrac{{\sqrt {4{x^2} + 2x - 1}  + x}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \dfrac{{4{x^2} + 2x - 1 - {x^2}}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {4{x^2} + 2x - 1}  - x} \right)}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \dfrac{{\left( {x + 1} \right)\left( {3x - 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {4{x^2} + 2x - 1}  - x} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \dfrac{{3x - 1}}{{\sqrt {4{x^2} + 2x - 1}  - x}} = \dfrac{{ - 3 - 1}}{{\sqrt {4 - 2 - 1}  + 1}} =  - 2\\\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} \dfrac{{\sqrt {4{x^2} + 2x - 1}  + x}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} \dfrac{{4{x^2} + 2x - 1 - {x^2}}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {4{x^2} + 2x - 1}  - x} \right)}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} \dfrac{{\left( {x + 1} \right)\left( {3x - 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {4{x^2} + 2x - 1}  - x} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} \dfrac{{3x - 1}}{{\sqrt {4{x^2} + 2x - 1}  - x}} = \dfrac{{ - 3 - 1}}{{\sqrt {4 - 2 - 1}  + 1}} =  - 2\end{array}\)

Vậy đồ thị hàm số có 2 TCN \(y = 3,\,\,y =  - 1\).

Chọn D