Phương pháp giải:

Tìm ĐKXĐ

Đường thẳng \(x = {x_0}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu một trong các điều kiện sau được thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) =  + \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) =  - \infty .\)

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(x \ge  - 3;\,x \ne 1;x \ne  - 1.\)

+)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {x + 3}  - 2}}{{{x^2} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {\sqrt {x + 3}  - 2} \right)\left( {\sqrt {x + 3}  + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt {x + 3}  + 2} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x - 1}}{{\left( {\sqrt {x + 3}  + 2} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{\left( {\sqrt {x + 3}  + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{1}{8} \ne  + \infty \)  nên \(x = 1\) không là TCĐ của đồ thị hàm số đã cho.

+)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \frac{{\sqrt {x + 3}  - 2}}{{{x^2} - 1}} =  - \infty \)  nên \(x =  - 1\) là TCĐ của đồ thị hàm số đã cho.

Vậy đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận đứng \(x =  - 1.\)

Chọn C.