Phương pháp giải:

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {a;b} \right) \Leftrightarrow f'\left( x \right) \ge 0\,\,\forall x \in \left( {a;b} \right)\) và bằng 0 tại hữu hạn điểm.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y' = 3\left( {m - 1} \right){x^2} + 6mx + 4m + 4\).

TH1: \(m = 1 \Rightarrow y' = 6x + 8 > 0 \Leftrightarrow x >  - \dfrac{4}{3} \Rightarrow \) Hàm số không đồng biến trên \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\).

\( \Rightarrow m = 1\) không thỏa mãn.

TH2: \(m \ne 1\).

Hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\) khi và chỉ khi \(y' \ge 0\,\,\forall x \in \left( { - \infty ; + \infty } \right)\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 3\left( {m - 1} \right){x^2} + 6mx + 4m + 4 \ge 0\,\,\forall x \in \left( { - \infty ; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 1 > 0\\\Delta ' = {\left( {3m} \right)^2} - 3\left( {m - 1} \right)\left( {4m + 4} \right) \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\9{m^2} - 12{m^2} + 12 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\3{m^2} \ge 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\\left[ \begin{array}{l}m \ge 2\\m \le  - 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge 2\end{array}\)

Kết hợp ĐK \(m \in \left[ { - 2019;2019} \right]\), \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {2;3;...;2019} \right\}\).

Vậy có \(\dfrac{{2019 - 2}}{1} + 1 = 2018\) giá trị \(m\) thỏa mãn.

Chọn A.