Phương pháp giải:

+) Xác định giao điểm của trục của mặt phẳng đáy và trung trực của 1 cạnh bên, chứng minh giao điểm đó là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp.

+) Sử dụng tỉ số của tam giác đồng dạng tính bán kính.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(O\) là trọng tâm của tam giác \(ABC \Rightarrow SO \bot \left( {ABC} \right)\).

Trong \(\left( {SAO} \right)\) kẻ trung trực của \(SA\) cắt \(SO\) tại \(I\) ta có \(IS = IA\).

Lại có \(I \in SO \Rightarrow IA = IB = IC \Rightarrow IS = IA = IB = IC \Rightarrow I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp tam giác đều \(S.ABC\).

Ta có \(AE = \dfrac{{a\sqrt 2 .\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2} \Rightarrow AO = \dfrac{2}{3}AE = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

Xét tam giác vuông \(SAO:\,\,SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}}  = \sqrt {2{a^2} - \dfrac{{2{a^2}}}{3}}  = \dfrac{{2\sqrt 3 a}}{3}\).

Dễ thấy \(\Delta SAO \sim \Delta SIM\,\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{SA}}{{SI}} = \dfrac{{SO}}{{SM}} \Rightarrow SI = \dfrac{{SA.SM}}{{SO}} = \dfrac{{a\sqrt 2 .\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{{\dfrac{{2\sqrt 3 a}}{3}}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Vậy bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) bằng \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Chọn C.