Phương pháp giải:

+) Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\) \( \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\).

+) Tính \(SH,\,\,{S_{ABC}}\).

+) Sử dụng công thức: \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABC}}\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\), do tam giác \(SAB\) đều \( \Rightarrow SH \bot AB\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AB\\\left( {SAB} \right) \supset SH \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\).

Tam giác \(SAB\) đều cạnh \(a\sqrt 3  \Rightarrow SH = \dfrac{{a\sqrt 3 .\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{3a}}{2}\).

Xét tam giác vuông \(ABC:\,\,BC = \sqrt {A{C^2} - A{B^2}}  = a\)

\( \Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.BC = \dfrac{1}{2}.a\sqrt 3 .a = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\).

Vậy \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{3a}}{2}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\).

Chọn A.