Phương pháp giải:

Áp dụng BĐT Bunhiacopski \({\left( {ax + by} \right)^2}\,\, \le \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{a}{x} = \dfrac{b}{y}\).

Lời giải chi tiết:

Giả sử \(z = a + bi,\,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\). Do \(\left| {z - 3 - 4i} \right| = \sqrt 5 \) nên \({\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 4} \right)^2} = 5\)

\(M = {\left| {z + 2} \right|^2} - {\left| {z - i} \right|^2} = \left( {{{\left( {a + 2} \right)}^2} + {b^2}} \right) - \left( {{a^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2}} \right) = 4a + 2b + 3 \Rightarrow 4a + 2b + 3 - M = 0\)

Để tồn tại số phức z như trên thì M  thỏa mãn điều kiện: đường thẳng \(4x + 2y + 3 - M = 0\,\,\left( \Delta  \right)\) và đường tròn \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 5\) có điểm chung\( \Leftrightarrow d\left( {I;\Delta } \right) \le R\), với \(I\left( {3;4} \right),R = \sqrt 5 \)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {4.3 + 2.4 + 3 - M} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {2^2}} }} \le \sqrt 5  \Leftrightarrow \left| {23 - M} \right| \le 10 \Leftrightarrow 13 \le M \le 33\)

\({M_{\max }} = 33\) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}4x + 2y + 3 - 33 = 0\\{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 15 - 2x\\{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {15 - 2x - 4} \right)^2} = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 5\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow z = 5 + 5i \Leftrightarrow z + i = 5 + 6i \Rightarrow z + i = \sqrt {25 + 36}  = \sqrt {61} \).

Chọn: A