Phương pháp giải:

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R} \Leftrightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\) và bằng 0 tại hữu hạn điểm.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y = \dfrac{m}{3}{x^3} - 2{x^2} + \left( {m + 3} \right)x + m \Rightarrow \,y' = m{x^2} - 4x + m + 3\)

+) \(m = 0 \Rightarrow y' =  - 4x + 3 > 0 \Leftrightarrow x < \dfrac{3}{4} \Rightarrow \)hàm số không đồng biến trên \(\mathbb{R} \Rightarrow m = 0\): không thỏa mãn

+) \(m \ne 0\). Để hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) thì \(y' \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\\Delta ' \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\{2^2} - m\left( {m + 3} \right) \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\ - {m^2} - 3m + 4 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\\left[ \begin{array}{l}m \ge 1\\m \le  - 4\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge 1\)

Vậy GTNN của tham số m để hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\)là \(m = 1\).

Chọn: D