Phương pháp giải:

Biện luận số nghiệm của phương trình \(y' = 0\) và kết luận về cực trị của hàm số.

Lời giải chi tiết:

TH1: \(m = 0 \Rightarrow y = 3{x^2}\).

\(y' = 6x = 0 \Leftrightarrow x = 0;\,\,y'' = 6 > 0 \Rightarrow \) Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0\).

\( \Rightarrow \) Khi \(m = 0\) hàm số không có cực đại \( \Rightarrow m = 0\) thỏa mãn.

TH2: \(m \ne 0\).

Ta có \(y' = 4m{x^3} - 2\left( {m - 3} \right)x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\4m{x^2} = 2\left( {m - 3} \right) \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{m - 3}}{{2m}}\,\,\left( {m \ne 0} \right)\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\)

         \(y'' = 12m{x^2} - 2\left( {m - 3} \right)\).

Để hàm số \(y = m{x^4} - \left( {m - 3} \right){x^2} + {m^2}\) không có điểm cực đại:

+) \(\left( * \right)\) vô nghiệm \( \Rightarrow \frac{{m - 3}}{{2m}} < 0 \Leftrightarrow 0 < m < 3\).

 \( \Rightarrow \) Hàm số chỉ có 1 cực trị \(x = 0\).

Để \(x = 0\) là điểm cực tiểu \( \Rightarrow y''\left( 0 \right) > 0 \Leftrightarrow  - 2\left( {m - 3} \right) > 0 \Leftrightarrow m < 3\).

\( \Rightarrow 0 < m < 3\).

+) \(\left( * \right)\) có nghiệm kép \(x = 0 \Rightarrow m = 3\).

Khi đó \(y' = 12{x^3} = 0 \Leftrightarrow x = 0\).

Qua điểm \(x = 0\) ta thấy \(y'\) đổi dấu từ âm sang dương \( \Rightarrow x = 0\) là điểm cực tiểu \( \Rightarrow m = 3\) thỏa mãn.

+) \(\left( * \right)\) có 2 nghiệm phân biệt \( \Rightarrow \) Hàm số luôn có cực đại \( \Rightarrow \) Loại.

Vậy để hàm số đã cho không có cực đại thì \(0 \le m \le 3\). Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {0;1;2;3} \right\}\).

Chọn D.