Phương pháp giải:

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {a;b} \right) \Leftrightarrow f'\left( x \right) \ge 0\,\,\forall x \in \left( {a;b} \right)\) và bằng 0 tại hữu hạn điểm.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y' = f'\left( {x - 1} \right) + 2x - 2 = 0 \Leftrightarrow f'\left( {x - 1} \right) + 2\left( {x - 1} \right) = 0\).

Đặt \(t = x - 1\) ta có \(y'f'\left( t \right) + 2t = 0 \Leftrightarrow f'\left( t \right) - \left( { - 2t} \right) = 0\).

Vẽ đồ thị hàm số \(y = f'\left( t \right)\) và \(y =  - 2t\) trên cùng mặt phẳng tọa độ ta có:

Xét \(y' \ge 0 \Leftrightarrow f'\left( t \right) \ge  - 2t \Rightarrow \) Đồ thị hàm số \(y = f'\left( t \right)\) nằm trên đường thẳng \(y =  - 2t\).

Xét \(x \in \left( {1;2} \right) \Rightarrow t \in \left( {0;1} \right) \Rightarrow \) thỏa mãn.

Xét \(x \in \left( { - 1;0} \right) \Rightarrow t \in \left( { - 2; - 1} \right) \Rightarrow \) Không thỏa mãn.

Xét \(x \in \left( {0;1} \right) \Rightarrow t \in \left( { - 1;0} \right) \Rightarrow \) Không thỏa mãn.

Xét \(x \in \left( { - 2; - 1} \right) \Rightarrow t \in \left( { - 3; - 2} \right) \Rightarrow \) Không thỏa mãn.

Chọn A.