Phương pháp giải:

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {a;b} \right) \Leftrightarrow f'\left( x \right) \ge 0\,\,\forall x \in \left( {a;b} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y' = 3{x^2} - 6\left( {m + 1} \right)x + 6m + 5\).

Để hàm số đồng biến trên \(\left( {2; + \infty } \right)\) \( \Rightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 3{x^2} - 6\left( {m + 1} \right)x + 6m + 5 \ge 0\,\,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x + 5 \ge 6m\left( {x - 1} \right)\,\,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow 6m \le \dfrac{{3{x^2} - 6x + 5}}{{x - 1}} = g\left( x \right)\,\,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\,\,\left( {Do\,\,x > 2 \Rightarrow x - 1 > 0} \right)\\ \Leftrightarrow 6m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {2; + \infty } \right)} g\left( x \right)\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}g'\left( x \right) = \dfrac{{\left( {6x - 6} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {3{x^2} - 6x + 5} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\\g'\left( x \right) = \dfrac{{6{x^2} - 12x + 6 - 3{x^2} + 6x - 5}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\\g'\left( x \right) = \dfrac{{3{x^2} - 6x + 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{{3 \pm \sqrt 6 }}{3} < 2\end{array}\)

\( \Rightarrow g'\left( x \right) > 0\,\,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right) \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {2; + \infty } \right)} g\left( x \right) = g\left( 2 \right) = 5\).

\( \Rightarrow 6m \le 5 \Leftrightarrow m \le \dfrac{5}{6}\). Kết hợp ĐK \(m\) nguyên dương \( \Rightarrow m \in \emptyset \).

Chọn B.