Phương pháp giải:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( {0;3} \right)\) \( \Leftrightarrow y' \ge 0,\forall x \in \left( {0;3} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y' =  - {x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + m + 3\).

Hàm số đã cho đồng biến trên \(\left( {0;3} \right)\) \( \Leftrightarrow y' \ge 0,\forall x \in \left( {0;3} \right)\) \( \Leftrightarrow  - {x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + m + 3 \ge 0,\forall x \in \left( {0;3} \right)\)

Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) =  - {x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + m + 3\) có hệ số \(a =  - 1 < 0\) nên \(f\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \left( {0;3} \right)\) \( \Leftrightarrow f\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn \({x_1} \le 0 < 3 \le {x_2}\).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {\left( {m - 1} \right)^2} + \left( {m + 3} \right) > 0\\af\left( 0 \right) =  - \left( {m + 3} \right) \le 0\\af\left( 3 \right) =  - \left( {7m - 12} \right) \le 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - m + 4 > 0\left( {\forall m} \right)\\m \ge  - 3\\m \ge \dfrac{{12}}{7}\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge \dfrac{{12}}{7}\).

Do \(m\) nguyên dương và \(m < 2020\) nên \(m \in \left\{ {2;3;...;2019} \right\}\) hay có \(2018\) giá trị của \(m\).

Chọn B.