Phương pháp giải:

Tự luận :

+ Đưa phương trình về dạng tích với ẩn là \({P_n}\) và \(A_n^2\).

+ Giải các phương trình thu được, sử dụng các công thức \({P_n} = n!,A_n^k = \dfrac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}\).

Lời giải chi tiết:

Điều kiện : \(n \ge 2,n \in {\mathbb{N}^*}\).

Ta có : \({P_n}A_n^2 + 72 = 6\left( {A_n^2 + 2{P_n}} \right)\)  \( \Leftrightarrow {P_n}A_n^2 - 6A_n^2 - 12{P_n} + 72 = 0\) \( \Leftrightarrow A_n^2\left( {{P_n} - 6} \right) - 12\left( {{P_n} - 6} \right) = 0\)

\(\left( {{P_n} - 6} \right)\left( {A_n^2 - 12} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{P_n} = 6\\A_n^2 = 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n! = 3!\\\dfrac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} = 12\end{array} \right.\)  \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 3\\n\left( {n - 1} \right) = 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 3\\n = 4,n =  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 3\\n = 4\end{array} \right.\)

Chọn B.