Phương pháp giải:

TCĐ của đồ thị hàm số là \(x=2.\) 

Số giao điểm của đường thẳng \(d\) và đồ thị hàm số \((C)\) là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm (*) của hai đồ thị. 

Để đường thẳng \(d\) cắt đồ thị hàm số \((C)\) tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị hàm số \((C)\) thì: \(x_1 < 2 < x_2.\)

Áp dụng định lý Vi-ét để tìm điều kiện của \(m.\)

Lời giải chi tiết:

ĐK: \(x \ne 2\)

Ta có: \(y = 2x + 5 + \dfrac{{10}}{{x - 2}} = \dfrac{{2{x^2} + x}}{{x - 2}}\,\,\,\,\,\left( C \right)\) và \(\left( d \right):\,\,y = kx + 2\).

Số giao điểm của đường thẳng (d) và đồ thị (C) là số nghiệm của phương trình:

\(\dfrac{{2{x^2} + x}}{{x - 2}} = kx + 2 \Leftrightarrow g\left( x \right) = \left( {k - 2} \right){x^2} - \left( {2k - 1} \right)x - 4 = 0\,\,\left( * \right)\)

(d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh của đồ thị (C) \( \Leftrightarrow \) pt (*) có hai nghiệm phân biệt \({x_1};\,\,{x_2}\) khác 2 và \({x_1} < 2 < {x_2}\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta  > 0\\g\left( 2 \right) \ne 0\\{x_1} < 2 < {x_2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k - 2 \ne 0\\{\left( {2k - 1} \right)^2} + 16\left( {k - 2} \right) > 0\\4\left( {k - 2} \right) - 2\left( {2k - 1} \right) - 4 \ne 0\\\left( {k - 2} \right)g\left( 2 \right) < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k \ne 2\\4{k^2} + 12k - 31 > 0\\ - 10 \ne 0\\ - 14\left( {k - 2} \right) < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k \ne 2\\\left[ \begin{array}{l}k > \dfrac{{ - 3 + 2\sqrt {10} }}{2}\\k < \dfrac{{ - 3 - 2\sqrt {10} }}{2}\end{array} \right.\\k > 2\end{array} \right. \Leftrightarrow k > 2\)

Chọn A.