Phương pháp giải:

+) Tìm điều kiện của \(m\) để phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt.

+) Sau đó áp dụng hệ thức Vi-ét và điều kiện bài cho để tìm \(m.\)

Lời giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{x^3} + 2m{x^2} + 3\left( {m - 1} \right)x + 2 =  - x + 2\,\,\,\left( * \right)\\ \Leftrightarrow {x^3} + 2m{x^2} + \left( {3m - 2} \right)x = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {{x^2} + 2mx + 3m - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\g\left( x \right) = {x^2} + 2mx + 3m - 2 = 0\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \) pt (*) có 3 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \) pt (1) có hai nghiệm khác 0 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\g\left( 0 \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 3m + 2 > 0\\3m - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < 1\end{array} \right.\\m \ne \dfrac{2}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m < 1\\m \ne \dfrac{2}{3}\end{array} \right.\\m > 2\end{array} \right.\).

Gọi \({x_1};\,{x_2}\) là 2 nghiệm của pt (1), khi đó \(B\left( {{x_1}; - {x_1} + 2} \right)\) và \(C\left( {{x_2}; - {x_2} + 2} \right)\).

Theo hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - 2m\\{x_1}{x_2} = 3m - 2\end{array} \right.\).

Khi đó diện tích của tam giác OBC là: \({S_{OBC}} = \dfrac{1}{2}d\left( {O;BC} \right).BC\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}.\dfrac{{\left| { - 0 + 2 - 0} \right|}}{{\sqrt {1 + 1} }}.\sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2}}  = 2\sqrt 6 \\ \Leftrightarrow \sqrt {2{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2}}  = 4\sqrt 3  \Leftrightarrow 2\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \right] = 48\\ \Leftrightarrow 4{m^2} - 4\left( {3m - 2} \right) = 24\\ \Leftrightarrow 4{m^2} - 12m - 16 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - 1\left( {tm} \right)\\m = 4\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Chọn A.