Phương pháp giải:

Lập phương trình hoành độ giao điểm (*) của hai đồ thị hàm số.

Số giao điểm của hai đồ thị hàm số là số nghiệm của phương trình (*).

Để hai đồ thị cắt nhau tại 3 điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có 3 nghiệm phân biệt.

Lời giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm của d và \(\left( {{C_m}} \right)\) là:

\(\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\,{x^3} - \left( {2m - 1} \right){x^2} - m + 1 = 2mx - m + 1\\
\Leftrightarrow {x^3} - \left( {2m - 1} \right){x^2} - 2mx = 0 \Leftrightarrow x\left[ {{x^2} - \left( {2m - 1} \right)x - 2m} \right] = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
f\left( x \right) = {x^2} - \left( {2m - 1} \right)x - 2m = 0\,\,\,\left( 1 \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)

Đường thẳng d cắt \(\left( {{C_m}} \right)\) tại 3 điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \) pt hoành độ giao điểm có 3 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \) pt (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta > 0\\
f\left( 0 \right) \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {2m - 1} \right)^2} + 8m > 0\\
2m \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4{m^2} - 4m + 1 + 8m > 0\\
m \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {2m + 1} \right)^2} > 0\\
m \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne - \frac{1}{2}\\
m \ne 0
\end{array} \right.\)

Chọn B.