Phương pháp giải:

Xét dấu \(g'\left( x \right)\) ở từng đáp án. Hàm số \(y = g\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {a;b} \right)\) nếu \(g'\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( {a;b} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Quan sát đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) ta thấy đây là parabol có đỉnh thỏa mãn \(x = \frac{{3 + \left( { - 1} \right)}}{2} = 1\).

Ta có: \(g'\left( x \right) = \left[ {f\left( {2{x^4} - 1} \right)} \right]' = 8{x^3}f'\left( {2{x^4} - 1} \right)\).

Đáp án A: Với \(x > 1\) thì \(2{x^4} - 1 > 1\) \( \Rightarrow f'\left( {2{x^4} - 1} \right)\) có thể dương (trên khoảng \(\left( {1;3} \right)\)) và cũng có thể âm (trên khoảng \(\left( {3; + \infty } \right)\)) nên chưa đánh giá được dấu của \(g'\left( x \right)\). Loại A.

Đáp án B: Với \(1 < x < \frac{3}{2}\) thì \(1 < 2{x^4} - 1 < \frac{{73}}{8}\)\( \Rightarrow f'\left( {2{x^4} - 1} \right)\) có thể dương (trên khoảng \(\left( {1;3} \right)\)) và cũng có thể âm (trên khoảng \(\left( {3;\frac{{73}}{8}} \right)\)) nên chưa đánh giá được dấu của \(g'\left( x \right)\). Loại B.

Đáp án C: Với \(x <  - 1\) thì \(2{x^4} - 1 > 1\) \( \Rightarrow f'\left( {2{x^4} - 1} \right)\) có thể dương (trên khoảng \(\left( {1;3} \right)\)) và cũng có thể âm (trên khoảng \(\left( {3; + \infty } \right)\)) nên chưa đánh giá được dấu của \(g'\left( x \right)\). Loại C.

Đáp án D: Với \(\frac{1}{2} < x < 1\) thì \( - \frac{7}{8} < 2{x^4} - 1 < 1\) \( \Rightarrow f'\left( {2{x^4} - 1} \right) > 0\) \( \Rightarrow 8{x^3}f'\left( {2{x^4} - 1} \right) > 0,\forall x \in \left( {\frac{1}{2};1} \right)\) hay \(g'\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( {\frac{1}{2};1} \right)\).

Vậy hàm số \(y = g\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {\frac{1}{2};1} \right)\).

Chọn D.