Lời giải chi tiết:

Nhận xét: Mỗi tam giác được lập thành do một cách chọn 3 điểm sao cho 3 điểm đó không thẳng hàng, tức là không cùng nằm trên một cạnh của tam giác ABC.

Chọn ngẫu nhiên 3 điểm từ \(n + 6\) điểm đã cho có: \(C_{n + 6}^3\) (cách)

Chọn 3 điểm chỉ nằm trên đúng 1 cạnh của tam giác ABC có : \(C_4^3 + C_n^3\) (cách)

Số tam giác lập thành là:

\(C_{n + 6}^3 - \left( {C_4^3 + C_n^3} \right) = 247\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {n + 6} \right)!}}{{3!.\left( {n + 3} \right)!}} - \left( {4 + \dfrac{{n!}}{{3!.\left( {n - 3} \right)!}}} \right) = 247\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {n + 6} \right)\left( {n + 5} \right)\left( {n + 4} \right)}}{6} - \left( {4 + \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}}{6}} \right) = 247\)

\( \Leftrightarrow \left( {n + 6} \right)\left( {n + 5} \right)\left( {n + 4} \right) - n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right) = 1506\)

\( \Leftrightarrow 18{n^2} + 72n - 1386 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n =  - 11\,\,(L)\\n = 7\,\,(TM)\end{array} \right.\)

Vậy, \(n = 7\).

Chọn: C