Phương pháp giải:

Đặt \(t = \cos x,\,\left( {t \in \left[ { - 1;1} \right]} \right)\), tìm GTLN, GTNN của hàm số \(f\left( t \right) = \dfrac{{2t + 1}}{{t - 2}}\)\(,\,\left( {t \in \left[ { - 1;1} \right]} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = \cos x,\,\left( {t \in \left[ { - 1;1} \right]} \right)\), hàm số đã cho trở thành \(y = f\left( t \right) = \dfrac{{2t + 1}}{{t - 2}}\)\(,\,\left( {t \in \left[ { - 1;1} \right]} \right)\)

Ta có: \(f'\left( t \right) = \dfrac{{ - 5}}{{{{\left( {t - 2} \right)}^2}}} < 0,\,\forall t \in \left[ { - 1;1} \right] \Rightarrow \)\(y = f\left( t \right)\) nghịch biến trên \(\left[ { - 1;1} \right]\)

\( \Rightarrow m = \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} \,f\left( t \right) = f\left( 1 \right) =  - 3;\,\,M = \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} \,f\left( t \right) = f\left( { - 1} \right) = \dfrac{1}{3}\)\( \Rightarrow 9M + m = 0\).

Chọn: A