Phương pháp giải:

Biểu diễn số phức \(z\) theo \(w\) rồi thay vào giả thiết \(\left| {z - 1} \right| = 1\) để tìm tập hợp điểm biểu diễn \(w\) từ đó suy ra bán kính đường tròn.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(w = \left( {1 + \sqrt 3 .i} \right)z + 2 \Rightarrow \left( {1 + \sqrt 3 .i} \right)z = w - 2 \Leftrightarrow z = \frac{{w - 2}}{{1 + \sqrt 3 i}}\)

Đặt  \(w = x + yi\left( {x;y \in \mathbb{R}} \right)\)

\( \Rightarrow z = \frac{{x + yi - 2}}{{1 + \sqrt 3 i}} = \frac{{\left[ {\left( {x - 2} \right) + yi} \right]\left( {1 - \sqrt 3 i} \right)}}{4} = \frac{{x - 2 + y\sqrt 3 }}{4} + \frac{{y - \sqrt 3 x + 2\sqrt 3 }}{4}i\)

Ta có \(\left| {z - 1} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {\frac{{x - 2 + y\sqrt 3 }}{4} + \frac{{y - \sqrt 3 x + 2\sqrt 3 }}{4}i - 1} \right| = 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left| {\frac{{x - 6 + y\sqrt 3 }}{4} + \frac{{y - \sqrt 3 x + 2\sqrt 3 }}{4}i} \right| = 1\\ \Leftrightarrow {\left( {x + y\sqrt 3  - 6} \right)^2} + {\left( {y - x\sqrt 3  + 2\sqrt 3 } \right)^2} = 16\\ \Leftrightarrow {x^2} + 3{y^2} + 36 - 12x - 12\sqrt 3 y + 2\sqrt 3 xy + {y^2} + 3{y^2} + 12 - 2xy\sqrt 3  + 4\sqrt 3 y - 12x - 16 = 0\\ \Leftrightarrow 4{x^2} + 4{y^2} - 24x - 8\sqrt 3 y + 32 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 6x - 2\sqrt 3 y + 8 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - \sqrt 3 } \right)^2} = 4\end{array}\)

 Nên bán kính đường tròn là \(R = 2.\)

Chọn D.