Phương pháp giải:

+ Xác định góc giữa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) là góc giữa đường thẳng \(d\) và đường thẳng \(d'\) với \(d'\) là hình chiếu của \(d\) trên mặt phẳng \(\left( P \right).\)

+ Thể tích hình chóp có chiều cao \(h\) và diện tích đáy \(S\) là \(V = \frac{1}{3}hS.\)

Lời giải chi tiết:

+ Ta có \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow AB\) là hình chiếu của \(SB\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Suy ra góc giữa \(SB\) và đáy là góc \(\angle SBA = 60^\circ .\)

+ Xét tam giác vuông \(SAB\) có \(SA = AB.\tan \angle SBA = 2a.\tan 60^\circ  = 2\sqrt 3 a\)

+ Diện tích đáy \({S_{ABCD}} = \frac{{\left( {AB + DC} \right)AD}}{2} = \frac{{\left( {2a + a} \right).2a}}{2} = 3{a^2}\)

+ Thể tích khối chóp là \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SA.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.2a\sqrt 3 .3{a^2} = 2{a^3}\sqrt 3 .\)

Chọn C.