Phương pháp giải:

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) tồn tại giới hạn tại \(x = {x_0} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {2x - 3} \right) = 2.1 - 3 =  - 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{x}{{x - 2}} = \dfrac{1}{{1 - 2}} =  - 1\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right)\end{array}\)

Vậy \(\exists \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) =  - 1\).

Chọn C.