Câu hỏi
Cho hàm số \(y = m{x^4} + \left( {{m^2} - 9} \right){x^2} + 10\). Điều kiện của m để hàm số có 3 điểm cực trị là:
- A \(R\backslash \left\{ 0 \right\}\)
- B \(\left( { - 3;0} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\)
- C \(\left( {3; + \infty } \right)\)
- D \(\left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( {0;3} \right)\)
Phương pháp giải:
Hàm số có bai điểm cực trị \( \Leftrightarrow \) phương trình \(y'=0\) có ba nghiệm phân biệt.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(y' = 4m{x^3} + 2\left( {{m^2} - 9} \right)x \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow x\left( {2m{x^2} + {m^2} - 9} \right) = 0\) (*)
Hàm số có 3 điểm cực trị \( \Leftrightarrow \) pt (*) có 3 nghiệm phân biệt.
Ta có: \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\g\left( x \right) = 2m{x^2} + {m^2} - 9 = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array} \right.\)
Pt (*) có 3 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow pt\,\,g\left( x \right) = 0\) có 2 nghiệm phân biệt khác 0
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\\dfrac{{9 - {m^2}}}{m} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}9 - {m^2} > 0\\m > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}9 - {m^2} < 0\\m < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\\left[ \begin{array}{l}0 < m < 3\\m < - 3\end{array} \right.\end{array} \right.\)
Chọn D.
Câu hỏi trước
