Phương pháp giải:

Sử dụng công thức đạo hàm \({\left( {f\left( u \right)} \right)^\prime } = u'f'\left( u \right)\)

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(K\) thì hàm số đồng biến trên \(K\)  khi \(f'\left( x \right) \ge 0;\forall x \in K\) (dấu = xảy ra

tại hữu hạn điểm)

Dựa vào đồ thị để đánh giá khoảng đồng biến của hàm \(f'\left( x \right)\) từ đó  suy ra hàm \(g'\left( x \right).\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(g'\left( x \right) = {2019^x}.\ln 2019.f'\left( {{{2019}^x}} \right) - m\)

Để hàm số \(g\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left[ {0;1} \right]\) thì \(g'\left( x \right) \ge 0;\forall x \in \left[ {0;1} \right] \Leftrightarrow {2019^x}.\ln 2019.f'\left( {{{2019}^x}} \right) - m \ge 0\)

\( \Leftrightarrow m \le {2019^x}.\ln 2019.f'\left( {{{2019}^x}} \right)\)  với mọi \(x \in \left[ {0;1} \right]\)

Đặt \(h\left( x \right) = {2019^x}.\ln 2019.f'\left( {{{2019}^x}} \right)\) thì \(m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} h\left( x \right)\)

Dựa vào đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) ta xét trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) thì \({2019^x} \in \left[ {1;2019} \right] \Rightarrow f'\left( {{{2019}^x}} \right) \ge 0\)  và \(f'\left( {{{2019}^x}} \right)\) đồng biến .

Lại có \({2019^x}\) đồng biến và dương trên \(\left[ {0;1} \right]\)

Nên \(h\left( x \right) = {2019^x}\ln 2019.f'\left( {{{2019}^x}} \right)\) đồng biến trên \(\left[ {0;1} \right]\)

Suy ra \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} h\left( x \right) = h\left( 0 \right) = {2019^0}.\ln 2019.f'\left( {{{2019}^0}} \right) = \ln 2019.f'\left( 1 \right) = 0\)  (vì theo hình vẽ  thì \(f'\left( 1 \right) = 0\))

Vậy \(m \le 0.\)

Chọn  A.