Phương pháp giải:

Thể tích hình trụ có bán kính đáy \(r\) và chiều cao \(h\) là \(V = \pi {r^2}h\)

Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để tìm GTLN của thể tích.

Cho ba số \(a,b,c\) không âm, theo BĐT Cô –si ta có \(a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}} \Leftrightarrow abc \le {\left( {\dfrac{{a + b + c}}{3}} \right)^3}\)

Dấu = xáy ra khi \(a = b = c.\)

Lời giải chi tiết:

Vì \({S_{ABCD}} = AB.BC \Rightarrow AB = \dfrac{1}{x}\left( m \right)\)

Gọi \(r\) là bán kính đáy của hình trụ thì chu vi đáy của hình trụ là \(2\pi r = x \Leftrightarrow r = \dfrac{x}{{2\pi }}\left( m \right)\)

Gọi \(AM = y\left( {0 < y < \dfrac{1}{x}} \right)\)  suy ra \(BM = \dfrac{1}{x} - y\)

Lại có đường kính đáy hình trụ là \(2r = BM \Leftrightarrow 2.\dfrac{x}{{2\pi }} = \dfrac{1}{x} - y \Leftrightarrow y = \dfrac{1}{x} - \dfrac{x}{\pi }\,\left( m \right)\)

(ĐK : \(\dfrac{1}{x} - \dfrac{x}{\pi } > 0 \Rightarrow 0 < x < \pi \))

Thể tích thùng nước hình trụ là \(V = \pi {r^2}h = \pi {\left( {\dfrac{x}{{2\pi }}} \right)^2}.y = \pi {\left( {\dfrac{x}{{2\pi }}} \right)^2}.\left( {\dfrac{1}{x} - \dfrac{x}{\pi }} \right)\)

\( = \pi .\dfrac{{{x^2}}}{{4{\pi ^2}}}\dfrac{{\pi  - {x^2}}}{{x\pi }} = \dfrac{1}{{4{\pi ^2}}}.x\left( {\pi  - {x^2}} \right) = \dfrac{1}{{2\sqrt 2 {\pi ^2}}}\sqrt {2{x^2}.\left( {\pi  - {x^2}} \right)\left( {\pi  - {x^2}} \right)} \)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số \(2x;\left( {\pi  - {x^2}} \right);\left( {\pi  - {x^2}} \right)\) ta có

\(2x.\left( {\pi  - {x^2}} \right).\left( {\pi  - {x^2}} \right) \le {\left( {\dfrac{{2x + \left( {\pi  - {x^2}} \right) + \left( {\pi  - {x^2}} \right)}}{3}} \right)^3} = {\left( {\dfrac{{2\pi }}{3}} \right)^3} = \dfrac{{8{\pi ^3}}}{{27}}\)

Suy ra \(V \le \dfrac{1}{{2\sqrt 2 {\pi ^2}}}.\sqrt {\dfrac{{8{\pi ^3}}}{{27}}}  \Leftrightarrow V \le \dfrac{1}{{3\sqrt {3\pi } }}\)

Dấu = xáy ra khi \(2{x^2} = \pi  - {x^2} \Leftrightarrow 3{x^2} = \pi  \Rightarrow x = \sqrt {\dfrac{\pi }{3}} \) (vì \(x > 0\))

Vậy  thùng nước có thể tích lớn nhất khi \(x = \sqrt {\dfrac{\pi }{3}}  \approx 1,02\left( m \right)\)

Chọn B.