Phương pháp giải:

Đường thẳng \(x = {x_0}\) được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu một trong các điều kiện sau được thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) =  - \infty \)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(\left[ \begin{array}{l}x > 1\\x <  - 1\end{array} \right.\)

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{x - 1}}{{\sqrt {2{x^2} - 2} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{\sqrt {x - 1} }}{{\sqrt 2 .\sqrt {x + 1} }} = 0\)  nên \(x = 1\) không là TCĐ của đồ thị hàm số

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} \dfrac{{x - 1}}{{\sqrt {2{x^2} - 2} }} =  - \infty \) vì \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} \left( {x - 1} \right) =  - 2\\\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} \sqrt {2{x^2} - 2}  =  + \infty \end{array} \right.\)  nên \(x =  - 1\) là TCĐ của đồ thị hàm số.

Chọn D.