Phương pháp giải:

+) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \({x_0}\).

+) Tìm giao điểm của tiếp tuyến với các trục tọa độ.

+) Tính \(OA,\,OB\), giải phương trình tìm \({x_0} \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến và kết luận.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \dfrac{3}{2}} \right\}\). Ta có \(y' = \dfrac{{ - 1}}{{{{\left( {2x + 3} \right)}^2}}}\).

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \({x_0}\) là:

\(\begin{array}{l}y =  - \dfrac{1}{{{{\left( {2{x_0} + 3} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + \dfrac{{{x_0} + 2}}{{2{x_0} + 3}} \Leftrightarrow y =  - \dfrac{1}{{{{\left( {2{x_0} + 3} \right)}^2}}}x + \dfrac{{{x_0}}}{{{{\left( {2{x_0} + 3} \right)}^2}}} + \dfrac{{{x_0} + 2}}{{2{x_0} + 3}}\\ \Leftrightarrow y =  - \dfrac{1}{{{{\left( {2{x_0} + 3} \right)}^2}}}x + \dfrac{{2x_0^2 + 8{x_0} + 6}}{{{{\left( {2{x_0} + 3} \right)}^2}}}\,\,\left( d \right)\end{array}\).

Cho \(x = 0 \Rightarrow y = \dfrac{{2x_0^2 + 8{x_0} + 6}}{{{{\left( {2{x_0} + 3} \right)}^2}}} \Rightarrow B\left( {0;\dfrac{{2x_0^2 + 8{x_0} + 6}}{{{{\left( {2{x_0} + 3} \right)}^2}}}} \right) = \left( d \right) \cap Oy\)

Cho \(y = 0 \Rightarrow \dfrac{1}{{{{\left( {2{x_0} + 3} \right)}^2}}}x = \dfrac{{2x_0^2 + 8{x_0} + 6}}{{{{\left( {2{x_0} + 3} \right)}^2}}} \Leftrightarrow x = 2x_0^2 + 8{x_0} + 6 \Rightarrow A\left( {2x_0^2 + 8{x_0} + 6;0} \right) = \left( d \right) \cap Ox\)  

\(\Delta OAB\) cân tại \(O \Rightarrow OA = OB \Rightarrow \left| {2x_0^2 + 8{x_0} + 6} \right| = \left| {\dfrac{{2x_0^2 + 8{x_0} + 6}}{{{{\left( {2{x_0} + 3} \right)}^2}}}} \right|\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left| {2x_0^2 + 8{x_0} + 6} \right|\left( {1 - \dfrac{1}{{{{\left( {2{x_0} + 3} \right)}^2}}}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| {2x_0^2 + 8{x_0} + 6} \right| = 0\\{\left( {2{x_0} + 3} \right)^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A\left( {0;0} \right);\,\,B\left( {0;0} \right)\,\,\left( {loai} \right)\\\left[ \begin{array}{l}{x_0} =  - 1 \Rightarrow A\left( {0;0} \right);\,\,B\left( {0;0} \right)\,\,\left( {loai} \right)\\{x_0} =  - 2 \Rightarrow A\left( { - 2;0} \right);\,\,B\left( {0; - 2} \right)\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}\)

Với \({x_0} =  - 2 \Rightarrow pt\left( d \right):\,\,y =  - x - 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 1\\b =  - 2\end{array} \right. \Rightarrow a + b =  - 3\)

Chọn D