Phương pháp giải:

+) Để hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right) \Rightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\).

+) Cô lập m, đưa BPT về dạng \(m \ge f\left( x \right)\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right) \Leftrightarrow m \ge \mathop {\min }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} f\left( x \right)\).

+) Sử dụng chức năng MODE 7, xác định GTNN của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\) và kết luận.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\). Ta có \(y' = {x^3} + m + \dfrac{3}{{2{x^2}}} = \dfrac{{2{x^5} + 2m{x^2} + m}}{{2{x^2}}}\).

Để hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right) \Rightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right) \Leftrightarrow 2{x^5} + 2m{x^2} + m \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2{x^5} + m\left( {2{x^2} + 1} \right) \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right) \Leftrightarrow m \ge \dfrac{{ - 2{x^5}}}{{2{x^2} + 1}} = f\left( x \right)\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow m \ge \mathop {\min }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} f\left( x \right)\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{ - 2{x^5}}}{{2{x^2} + 1}}\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\), sử dụng MTCT ta có \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow m \ge 0\).

Vậy không có giá trị nguyên âm của tham số \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn B