Phương pháp giải:

Xác định tâm và bán kính để viết phương trình đường tròn.

Đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = c\) có tâm \(I\left( {a;b} \right)\), bán kính \(R = \sqrt c \)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(AB = \sqrt {{{\left( {1 - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 5 + 1} \right)}^2}}  = \sqrt {4 + 16}  = \sqrt {20}  = 2\sqrt 5 \)

AB là đường kính \( \Rightarrow \) Bán kính \(R = \frac{1}{2}AB = \frac{{2\sqrt 5 }}{2} = \sqrt 5 \)

Tâm I của đường tròn là trung điểm đoạn AB \( \Rightarrow I\left( {2; - 3} \right)\)

Phương trình đường tròn đường kính AB  là: \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 5.\)

Chọn D.