Phương pháp giải:

Đường thẳng \(x=a\) được gọi là TCĐ của đồ thị hàm số  \(y=f(x) \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) =  \pm \infty .\)

Hay \(x=a\) là nghiệm của mẫu số và không là nghiệm của tử số.

Đường thẳng \(y=b\) được gọi là TCN của đồ thị hàm số  \(y=f(x) \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } f\left( x \right) =  b .\)

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\).

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{1 + \frac{1}{x}}}{{\sqrt {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} }} = 1 \Rightarrow \) Đồ thị hàm số có TCN \(y = 1\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{1 + \frac{1}{x}}}{{ - \sqrt {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} }} =  - 1 \Rightarrow \) Đồ thị hàm số có TCN \(y =  - 1\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }} =  + \infty  \Rightarrow \) Đồ thị hàm số có TCĐ \(x = 1\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} \frac{{ - \sqrt {{{\left( { - x - 1} \right)}^2}} }}{{\sqrt {\left( { - x - 1} \right)\left( { - x + 1} \right)} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} \frac{{ - \sqrt { - x - 1} }}{{\sqrt { - x + 1} }} = 0 \Rightarrow x =  - 1\) không là TCĐ của đồ thị hàm số.

Chọn A.