Phương pháp giải:

Thể tích khói chóp có chiều cao \(h\) và diện tích \(S\) là \(V = \frac{1}{3}h.S\)

Hình tứ diện đều có tất cả các cạnh bằng nhau nên từ thể tích ta tính được cạnh của hình tứ diện đều.

Lời giải chi tiết:

Gọi tứ diện đều có \(AB = AC = BC = CD = x\,\,\,\left( {x > 0} \right)\)

Gọi \(M\) là trung điểm \(BC\) và \(H\) là trọng tâm tam giác \(ABC\)

\( \Rightarrow DH \bot \left( {ABC} \right);AM \bot BC\)

Xét tam giác \(ABC\) đều cạnh \(x\) có : \(AM = \frac{{x\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AH = \frac{2}{3}.\frac{{x\sqrt 3 }}{2} = \frac{{x\sqrt 3 }}{3};{S_{ABC}} = \frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{4}\)

Xét tam giác \(DAH\) vuông tại \(H\) có \(DH = \sqrt {A{D^2} - A{H^2}}  = \sqrt {{x^2} - {{\left( {\frac{{x\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}}  = \frac{{x\sqrt 6 }}{3}\)

Thể tích khối tứ diện \({V_{ABCD}} = \frac{1}{3}DH.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}\frac{{x\sqrt 6 }}{3}.\frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{x^3}\sqrt 2 }}{{12}}\)

Theo giả thiết ta có \({V_{ABCD}} = \frac{1}{3}{a^3} = \frac{{{x^3}\sqrt 2 }}{{12}} \Leftrightarrow x = a\sqrt 2 \)

Vậy \(AB = a\sqrt 2 .\)

Chọn  D.